Nachweis der Äquivalenz der Modelle

Die folgende mathematische Aufstellung (von Herrn Peter Mitterbacher) soll zeigen, wie sich die Modelle eines parasitären Serien- und Parallelwiderstandes eines Kondensators, ineinander überführen lassen. Als Ansatz für die Herleitung wurde der Verlustwinkel tan δ verwendet.

paralell

Modell mit Parallelwiderstand

serial

Modell mit Serienwiderstand

 

 

 

 

 

Modell mit Serienwiderstand Rs:

rs

Ersatzschaltbild mit Rs und Zeigerdiagramm Verlustwinkel

form01form02

Modell mit Parallelwidertsand Rp:

rp

Ersatzschaltbild mit Rp und Zeigerdiagramm Verlustwinkel

form03form04Xcp eingesetzt:

form05

Da an beiden Widerständen die gleiche thermische Verlustleistung umgesetzt wird, kann folgende Annahme getroffen werden:

Zs = Zp

Zs² = Zp²

Ermittlung des Ersatzwiderstandes:

form06form07Auf jeder Seite die Wurzel ziehen:

form08

Aus den Formeln ist ersichtlich, dass der Unterschied zwischen Rs und Pr umso größer wird, je kleiner tan²δ ist.

Kapazitätsmodell:

Parallelschaltung:

form09

Xcp eingesetzt:

form10

form11form12Serienschaltung:

Zs² = Rs² + Xcs²

Für Rs = Xcx * tanδ einsetzen:

Zs² = Xcs² + tan²δ + Xcs²

form13

form14form15Ermittlung der Paralellkapazität:form16form17

Überprüfung des Modells:

Um die Qualität des verwendeten Modells zu überprüfen, wurde ein 15µF Kondensator mit einem LC- Meter vermessen, um die gerechneten Werte aus dem Modell mit den tatsächlichen, gemessenen Werten zu vergleichen.

Die angegebenen Werte wurden bei einer Frequenz von 50kHz gemessen. Für die Berechnung wurde als Ausgangspunkt ein gemessener Parameter verwendet und mit diesem ein äquivalenter Modellwert ermittelt.

tabelle

Vergleich der gemessenen und gerechneten Modellwerte

Die Tabelle zeigt, dass die errechnten Werte mit den gemessenen Werten
übereinstimmen.

 

Schaltung einer realen Spule

Schaltung einer realen Spule

Um den Ladevorgang einer Spule zu beschreiben, wurde die entsprechende Differentialgleichung aufgestellt.

Spulenstrom:

spule02

Homogene Lösung:

spule03

Partikuläre Lösung:

spule04spule05Um C1 zu ermitteln, wird der Strom im Zeitpunkt Null herangezogen:

spule06spule07Spulenspannung:

Uges = UR + UL

UL = Uges – UR

UL = Uges – IL * R

spule08