Die folgende mathematische Aufstellung (von Herrn Peter Mitterbacher) soll zeigen, wie sich die Modelle eines parasitären Serien- und Parallelwiderstandes eines Kondensators, ineinander überführen lassen. Als Ansatz für die Herleitung wurde der Verlustwinkel tan δ verwendet.

 

 

 

 

 

Modell mit Serienwiderstand Rs:

Modell mit Parallelwidertsand Rp:

Xcp eingesetzt:

Da an beiden Widerständen die gleiche thermische Verlustleistung umgesetzt wird, kann folgende Annahme getroffen werden:

Zs = Zp

Zs² = Zp²

Ermittlung des Ersatzwiderstandes:

Auf jeder Seite die Wurzel ziehen:

Aus den Formeln ist ersichtlich, dass der Unterschied zwischen Rs und Pr umso größer wird, je kleiner tan²δ ist.

Kapazitätsmodell:

Parallelschaltung:

Xcp eingesetzt:

Serienschaltung:

Zs² = Rs² + Xcs²

Für Rs = Xcx * tanδ einsetzen:

Zs² = Xcs² + tan²δ + Xcs²

Ermittlung der Paralellkapazität:

Überprüfung des Modells:

Um die Qualität des verwendeten Modells zu überprüfen, wurde ein 15µF Kondensator mit einem LC- Meter vermessen, um die gerechneten Werte aus dem Modell mit den tatsächlichen, gemessenen Werten zu vergleichen.

Die angegebenen Werte wurden bei einer Frequenz von 50kHz gemessen. Für die Berechnung wurde als Ausgangspunkt ein gemessener Parameter verwendet und mit diesem ein äquivalenter Modellwert ermittelt.

Die Tabelle zeigt, dass die errechnten Werte mit den gemessenen Werten
übereinstimmen.

 

Um den Ladevorgang einer Spule zu beschreiben, wurde die entsprechende Differentialgleichung aufgestellt.

Spulenstrom:

Homogene Lösung:

Partikuläre Lösung:

Um C1 zu ermitteln, wird der Strom im Zeitpunkt Null herangezogen:

Spulenspannung:

Uges = U_R + U_L

U_L = Uges – U_R

U_L = Uges – I_L * R